# Название темы

> Краткая формулировка: что изучаем и какую задачу это помогает решать.

## Мотивация

Опишите практическую проблему до введения формул:

- где она возникает в анализе данных или машинном обучении;
- почему наивного решения недостаточно;
- какой результат читатель сможет получить после главы.

Хорошая мотивация связывает тему с уже знакомой идеей и называет цену ошибки.
Например, неверное понимание масштаба градиента приводит не только к медленному
обучению, но и к численной нестабильности.

## Интуиция

Сначала дайте мысленную модель без потери математического смысла. Укажите:

1. какие объекты участвуют;
2. что меняется, а что фиксировано;
3. какую величину мы хотим измерить, предсказать или оптимизировать;
4. где аналогия перестаёт работать.

При необходимости добавьте маленький числовой пример. Интуиция должна готовить
к определению, а не заменять его.

## Определения и обозначения

Введите каждый новый термин до первого использования.

- **Термин** — точное определение.
- Скаляр записывается как \(x\), вектор — как \(\mathbf{x}\), матрица — как
  \(\mathbf{X}\).
- Размерности указываются явно:
  \(\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{n\times d}\),
  \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^{d}\).
- Все специальные предположения перечисляются рядом с формулой.

Согласуйте запись с [`NOTATION.md`](NOTATION.md). Если в теме нужна локальная
оговорка, объясните её явно.

## Вывод ключевых формул

Не переходите от исходной формулы к ответу одним скачком. Для каждого шага
укажите применённое свойство:

\[
\begin{aligned}
L(\mathbf{w})
  &= \frac{1}{2}\|\mathbf{X}\mathbf{w}-\mathbf{y}\|_2^2 \\
  &= \frac{1}{2}
     (\mathbf{X}\mathbf{w}-\mathbf{y})^\top
     (\mathbf{X}\mathbf{w}-\mathbf{y})
     && \text{по определению нормы},\\
\nabla_{\mathbf{w}}L
  &= \mathbf{X}^\top(\mathbf{X}\mathbf{w}-\mathbf{y})
     && \text{по правилу производной квадратичной формы}.
\end{aligned}
\]

После вывода проверьте:

- совпадают ли размерности обеих частей;
- разумно ли поведение в простом предельном случае;
- какие предположения нужны для результата;
- является ли формула точной или приближённой.

## Разобранный пример

Сформулируйте небольшую задачу с конкретными числами.

**Дано.** Перечислите входные величины и их размерности.

**Решение.**

1. Выберите подходящую формулу и объясните выбор.
2. Подставьте значения без пропуска промежуточных вычислений.
3. Интерпретируйте число в терминах исходной задачи.

**Проверка.** Сравните результат с грубой оценкой, альтернативным вычислением
или известным частным случаем.

## Связь с Python и NumPy

Код должен воспроизводить разобранный пример и запускаться как самостоятельный
фрагмент:

```python
import numpy as np

X = np.array([[1.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
w = np.array([0.5, -0.25])
y = np.array([0.0, 0.5])

residual = X @ w - y
loss = 0.5 * residual @ residual
gradient = X.T @ residual

print(f"loss = {loss:.6f}")
print("gradient =", gradient)
```

Поясните соответствие между математикой и кодом: `@` — матричное умножение,
`.T` — транспонирование, а не поэлементная операция. Укажите формы массивов и
не полагайтесь на случайный broadcasting.

## Типичные ошибки и ограничения

- **Ошибка:** распространённое неверное действие.
  **Почему неверно:** нарушенное условие или свойство.
  **Как исправить:** безопасная проверка или корректная формула.
- Отделите математические ограничения метода от особенностей реализации.
- Назовите случаи, в которых приближение перестаёт быть надёжным.
- Предупредите о переполнении, потере точности и неоднозначных формах массивов,
  если они возможны.

## Краткое резюме

- Одна строка о главной идее.
- Одна строка о ключевой формуле и её условиях.
- Одна строка о практической интерпретации.
- Одна строка о наиболее опасной ошибке.

## Связанные материалы

- Базовая глава: относительная ссылка внутри репозитория.
- Следующая тема: относительная ссылка внутри репозитория.
- Термины: [`GLOSSARY.md`](../GLOSSARY.md).